Minggu, 18 Desember 2011

Transformasi Geometri


PEMBAHASAN

  1. Transformasi
Definisi :
 Suatu trnsformasi bidang adalah fungsi satu-satu dari bidang onto bidang.
Contoh :
Pilihlah pada bidang euclides V suatu sistem Ortogonal. T adalah padanan yang mengaitkan setiap titikP dengan P' yang letaknya satu satuan dari P dengan arah sumbu X yang positif. Selidiki apakah T suatu transformasi !!
Jawab :                                   Y

                                                         P                                P'
                                                                                   
                                              0                                                      X

Kalau P = (x,y) maka T (P) = P' dan P' = (x = 1,y)
Jelas aerah asal T adalah seluruh bidang V.
Kita harus menyelidiki lagi dua hal, yaitu :
1). Apakah T surjektif ?
2). Apakah T injektif ?
Jika A (x,y), pertanyaannya yang harus dijawab ialah apakah A memiliki prepeta oleh T ?
Andaikan B = (x', y')
1). Kalau B ini prapeta titik A (x,y) maka haruslah berlaku T (B) = (x' + 1, y')
Jadi x' + 1 = x, y' = y

                x' = x - 1
Atau
                y' = y
jelas T (x-1, y) = ((x-1) + 1, y) = (x,y)
oleh karena x', y' selalu ada, untuk segala nilai x, y maka B selalu ada sehingga
T(B) = A
Karena A sembarang, maka setiap titik di V memiiki prapeta yang berarti bahwa T surjektif.
2). Andaikan P (x1, y1) dan Q (x2, y2) dengan P ≠ Q
Apakah T (P) ≠ T (Q)?
Di sini T (P) = (x1 + 1, y1) dan T (Q) = (x2 + 1, y2)
Kalau T (P) = T (Q), maka (x1 + 1, y1) = (x2 + 1, y2)
Jadi x1 + 1 = x2 + 1 dan y1 = y2 , ini berarti x1 = x2 dan y1 = y2. Jadi P = Q.
Ini berlawanan dengan yang diketahui bahwa P ≠ Q. Jadi haruslah T (P) ≠ T (Q).
Dengan demikian, ternyata bahwa T injektif dan T adalah padanan yang bijektif. Jai T suatu transformasi dari V ke V.
Hasil kali transformasi (Komposisi Transformasi)
Definisi :
Misalkan ada dua transformasi T 1dan T 2 maka komposisi dari T 1 dan
T 2 merupakan suatu transformasi, ditulis dengan notasi T1 o T 2 ditetapkan sebagai :
(T 1 o T 2 ) (R) = T 1 [T 2 (R)], " RÎn .
Untuk membuktikan transformasi ini yang harus ditunjukkan adalah :

1. T 1 o T 2 fungsi dari n ke n
Karena T 2 suatu transformasi maka T 2 merupakan fungsi dari n ke n ,
sehingga prapeta dari T 1 o T 2 = prapeta dari T 2.
Ambil x În sebarang, karena T 2 transformasi berarti ada y În sehingga
T 2 (x)= y dan T 1 juga merupakan transformasi berarti ada z În sehingga
T 1 (y) = z.\ z =T 1 (y), y =T 2 (x)
z =T 1 [T 2 (x)]=(T 1 o T 2 )(x)
Jadi " xÎn nilai dari (T 1 o T 2 )(x) adalah z În . Akibatnya transformasi ini
dikatakan sebagai fungsi dari n ke n
2. T 1 o T 2 fungsi bijektif :
a) T 1 o T 2 fungsi kepada
ambil z În karena T 1 transformasi maka T 1 fungsi kepada,
akibatnya ada y În sehingga T 1 (y)= z dan karena T 2 juga
transformasi maka T 2 juga fungsi kepada, akibatnya y În sehingga
T 2 (x)= y . Jadi, untuk z În sebarang ada x În sehingga
z= T 1 (y)= T 1 [T 2 (x)] =(T 1 o T 2 )(x). \" În mempunyai prapeta oleh T 1 o T 2 akibatnya T 1 o T 2 suatu fungsi kepada.
b) T 1 o T 2 fungsi satu – satu
ambil x,y În sehingga (T 1 o T 2 )(x)=(T 1 o T 2 )(y) maka
T 1 [T 2 (x)]=T 1 [T 2 (y)] dari hubungan ini didapat T 2 (x)=T 2 (y)® x = y. karena T1 o T 2 fungsi satu – satu dan kepada
Maka T 1 o T 2 suatu fungsi bijektif.
Kesimpulan : dari uraian di atas maka T 1o T 2 suatu transformasi.



  1. Isometri
Definisi :
 Suatu transformasi T adalah isometri jika dan hanya jika untuk setiap pasangan titik-titik P dan Q,
                        P' Q' = PQ
Dengan                 P' = T (P) dan Q' = T (Q)
Perlu diperhatikan bahwa definisi ini tidak memerlukan PP' = QQ'. Dengan kata lain, dalam isometri tidak memerlukan sifat mempertahankan jarak antara suatu titik dengan bayangannya (petanya).
Contoh :
Asumsi bahwa sebuah sistem koordinat membangun sebuah budang (datar). Daqn pemetaan T didefinisikan untuk suatu titik P (x,y) oleh :
T (P) = P'
         = (x,-y)
Dengan bekal pengetahuan terdahulu, dapat dibuktikan bahwa T suatu transformasi menunjukkan T suatu isometri, ambil sepasang titik A' (a1,-a2) dan B' (b1,-b2), kemudian buktikan bahwa A' B' = AB.
                                     Y                                A (a1,a2)
               B (b1,b2)

                                                                                                     x
                                 B' (b1,-b2)
                                                                                        A' (a1,-a2)

Dengan rumus jarak, diperoleh :
A' B' =
        =
        =
        =
        = AB
Karena itu, T adalah isometri.
Teorema 1 :
Setiap Refeksi garis adalah suatu isometri.
Bukti :
Pembuktiannya menggunakan koordinat geometri. Kita ingat bahwa suatu sistem koordinat dapat dibentuk dengan menggunakan sepasang garis tegak lurus dalam suatu satuan panjang, serta menetapkan sumbu x dan y positifnya, kita bebas memilih sumbu mana yang akan dijadikan sumbu refleksi. Dalam hal ini, dipilih sumbu x sebagai garis s – nya, sedangkan sumbu y menjadi garis yang tegak lurus s.
Teorema 2 :
Sebuah isometri bersifat :
1.      Memetakan garis menjadi garis.
2.      Mengawetkan besarnya sudut antara dua garis.
3.      Mengawatkan kesejajaran dua garis.
Bukti :
a).  Andaiakan g sebuah garis dan T suatu isometri.
Kia akan membuktikan bahwa T (g) = h adalah suatu garis juga.
      
                           B                                     B'                    
          A                                                                       A'  
                     g                                                                  h
Ambil A  g dan B  g. Maka A' = T (A)  h, B' = T (B)  h ; melalui A' dan B' ada satu garis, misalnya h'.
Akan kita buktikan h' = h.
Untuk ini akan dibuktikan h' h dan hh'
(i)                 Bukti  h' h
Ambil X'  h'. Oleh karena bidang kita adalah bidang euclides,kita andaikan (A', X', B'), artinya A' X' + X' B' = A' B'. Oleh karena T suatu isometri. Jadi sutu transformasi maka ada X sehingga T (X) = X' dan oleh karena T suatu isometri maka AX = A' X' ; begitu pula XB = X' B'. Jadi pula AX + XB = AB.
Ini berarti bahwa A, X, B segaris pada g.
Ini berarti lagi bahwa X' = T (X)  h.
Sehingga h'  h sebab buti serupa berlaku untuk posisi X' dengan (X', A', B') atau (A', B', X').
(ii)               Bukti hh'
Ada lagi Y'  h
Maka ada Y  g sehingga T (Y) = Y' dengan Y misalnya (A Y B), artinya Y V g dan AY + YB = AB. Oleh karena T suatu isometri maka A' Y' = AY, Y' B' = YB, dan A' B' = AB.
Sehingga A' Y' + B' Y' = A' B'. Ini berarti bahwa A', Y', B' segaris, yaitu garis yang melewati A' dan B'.
Oleh karena h' satu-satunya garis yang melalui A' dan B'  maka Y'  h'. Jadi haruslah hh'.
Bukti serupa berlaku pada keadaan (Y A B) atau (A B Y). Sehingga h = h'. Jadi kalau g sebuah garis maka h = T (g) adalah sebuah garis.
b). Ambil sebuah < ABC
              A                                                               A'
 

 B                        C                                      B'                         C'
Andaikan A' = T (A), B' = T (B), C' = T (C)
Menurut (a), maka A' B' dan B' C' adalah garis lurus.
Oleh karena < ABC = BA  BC maka < A' B' C' = B' A'  B' C' sedangkan A' B' = AB,
B' C' = BC, C' A' = CA.
Sehingga     ABC     A' B' C'. Jadi < A' B' C' = < ABC.
Sehingga suatu isometri dapat mengawetkan besarnya suatu sudut.
c).
           
         a                b                                                  a'            b'


Kita harus memperlihatkan a' // b'.
Andaikan a' memotong b' di sebuah titik P'. Jadi P'  a' dan P  b. Oleh karena T sebuah transformasi maka ada P sehingga T (P) = P' dengan P  a dan P  b.
Ini bearti bahwa a memotong b di P ; jadi bertentangan dengan yang diketahui bahwa a // b.
Maka pengandaian bahwa a'memotong b' salah.
Jadi haruslah a' // b'.
Akibat : salah satu akibat dari sifat (b) teorema 1.3  ialah bahwa apabila a  b maka T(a)T (b) dengan T sebuah isometri.
Contoh : Diketahui garis g  { (x.y)│y = - x }dan h { (x,y)│y = 2x – 3 }.
Apabila Mg adalah releksi pada garis g, tentukanlah persamaan garis h' = Mg (h).
Jawab :
Oleh karena g sebuah refleksi pada g jadi suatu isometri, maka menurut teorema 4.1, h' adalah sebuah garis.  



                                                      Y
 

                                                             

   0       R    Q                          X
         P
                                               
Garis h' akan melalui titik potong pada h dan g misalnya R, sebab Mg (R) = R.
Jelas bahwa R = (1, -1) : h akan pula melalui Q' = Mg (Q).
Oleh karena Q = (3/2, 0) maka Q' = (0, -3/2).
Dengan demikian persamaan h' adalah :
h' = { (x, y) │x – 2y – 3 = 0 }
Isometri Langsung dan Isometri Lawan
Definisi :
Misalkan (P,Q,R) adalah ganda tiga titik yang tidak kolinier (tak
segaris). Apabila urutan perputaran P,Q,R sesuai dengan perputaran jarum
jam, maka P,Q,R disebut memiliki orientasi negatif. Sedangkan apabila
urutan perputaran P,Q,R berlawanan dengan perputaran jarum jam maka,
P,Q,R disebut memiliki orientasi positif.
Definisi :
Suatu transformasi T disebut langsung jika dan hanya jika transformasi
itu mempertahankan orientasi.sedangkan transformasi T disebut
transformasi lawan jika dan hanya jika transformasi itu mengubah
orientasi.
Definisi :
Misalkan T suatu transformasi.T disebut mempertahankan orientasi
apabila untuk setiap ganda tiga titik P,Q,R yang tidak kolinear (tak
segaris) orientasinya sama dengan orientasi dari petanya.sedangkan
lainnya disebut mengubah orientasi.

Isometri lawan
misalnya sebuah refleksi (pencerminan)
                    P                     R            P'                    Q'
 

                            Q                                  R'
D PQR berlawanan dengan jarum jam (+) sedangkan D P'Q'R' searah
dengan jarum jam (-).

Isometri langsung
misalnya suatu rotasi (perputaran)
                        P                                  R'

                Q                    R          P'                    Q'
D PQR berlawanan dengan jarum jam (+) sedangkan D P'Q'R' tetap
berlawanan dengan jarum jam (+).
Sifat yang penting dalam geometri transformasi ialah :
• Setiap refleksi (pencerminan) pada garis adalah suatu isometri lawan.
• Akan tetapi tidak setiap isometri adalah isometri lawan, ini dapat di
lihat pada gambar di atas yaitu rotasi (perputaran) adalah sebuah
isometri langsung.
• Setiap isometri adalah sebuah isometri langsung atau sebuah isometri
lawan.

  1. Involusi
Teorema :
Invers dari setiap refleksi garis adalah refleksi garis itu sendiri.
Suatu transformasi yang inversnya adalah transformasi itu sendiri dinamakan involusi. Berdasarkan penjelasan di atas, jelas bahwa refleksi garis adalah suatu involusi.
Bukti :
Terdapat dua transformasi T dan I serta komposisi TL. Berdasarkan pengetahuan yag lalu maka dapat dinyatakan
(TL)-1 = L-1 T-1         
Maka (TL) = (L-1 T-1) = [(TL)L-1] T-1
                                    = [T(LI-1)] T-1
                                    = [TI] T-1
                                                = TT-1
                                    = I
Dengan cara yang sama diperoleh
(L-1T-1) (TL) = I

  1. Kolineasi
Definisi : Sebuah transformasi T yang bersifat bahwa sebuah garis petanya juga garis dinamakan kolineasi.
Oleh karena suatu refleksi adalah suatu kolineasi maka setengah putaran juga suatu kolineasi. Ini tidak mengherankan sebab setiap isometri adalah suatu kolineasi.
Suatu transformasi disebut kolineasi jika hasil transformasi sebuah garis (lurus) akan berupa garis lagi.
Jadi, jika g adalah garis maka T adalah kolineasi jika T(g) berupa garis, yaitu himpunan titik P’ = T(P) dengan P terletak pada g.
Contoh :
  1. f(x) = x2 dengan x > 0
Fungsi di atas dapat dipandang sebagai transformasi dengan domain sumbu X positif yang berupa garis lurus, dan hasil transformasinya berupa kurva y = x2.
f(x) bisa dituliskan sebagai transformasi
T : (x,0)→(x,x2)
Rumus transformasinya :
Gambar di samping memperlihatkan bahwa hasil transformasi garis lurus (sumbu X positif) adalah kurva y = x2 yang tidak berupa garis lurus.
Maka dapat disimpulkan bahwa T (x,0)=(x,x2) bukan kolineasi. Atau fungsi f(x) = x2 bukan transformasi kolineasi.

  1. f(x) = x + 1
Fungsi itu dapat dinyatakan sebagai transformasi T : (x,0) →(x,x + 1), yaitu mentransformasikan garis lurus (sumbu X) menjadi garis y = x + 1.
Rumus transformasinya .
Gambar di samping memperlihatkan bahwa hasil transformasi garis lurus (sumbu X) juga berupa garis lurus (y = x + 1). Maka fungsi  f(x) = x + 1 merupakan transformasi kolineasi.

  1. f(x,y) = x + 2y
Bisa dianggap sebagai transformasi T : (x,y,0) → (x,y, x + 2y), yaitu yang mentransformasikan bidang XOY menjadi bidang z = x + 2y.
Rumus transformasinya
Gambar di samping memperlihatkan bahwa hasil transformasi bidang XOY juga berupa bidang datar (z = x + 2y).
Bisa dikatakan, setiap garis pada bidang XOY ditransformasikan menjadi garis yang menyusun bidang z = x + 2y. Maka, f(x,y) = x + 2y merupakan transformasi kolineasi.
Diantara kolineasi-kolineasi ini ada yang disebut dilatasi.
Definisi : suatu kolineasi      dinamakan suatu dilatasi apabila untuk setiap garis g berlaku sifat      (g) // g. Salah satu contoh adalah setengah putaran.
PEMBAHASAN
1. Setengah Putaran
1.1 Ketentuan dan Sifat

Definisi : Sebuah setengah putaran pada suatu titik A adalah suatu padanan SA yang didefinisikan untuk setiap titik pada bidang sebagai berikut :
1) Apabila P ≠  A maka SA (P) = P' , sehingga A titik tengah ruas garis PP'
2) SA (A) = A
Teorema 7.1 : Andaikan A sebuah titik dan g dan h dua garis tegak lurus yang berpotongan di A. Maka SA = MgMh.
Bukti : Oleh karena g h , maka kita dapat membuat sebuah sistem sumbu orthogonal dengan g sebagai sumbu X dan h sebagai sumbu Y.
A dipakai sebagai titik asal.    Y
 

                 P' (-x,y)                                                                         P (x,y)


            g

                    P" (-x,-y)                           h

Harus dibuktikan bahwa untuk setiap P berlaku SA (P) = MgMh (P)
Andaikan P (x,y) ≠ A dan andaikan pula bahwa SA (P) = P " (x1,y1).
 

Oleh karena A titik tengah PP"    maka (0,0) =        x1 + x     y1 + y
                                                                                 2                 2
Sehingga x1 + x = 0 dan y1 + y = 0 atau x1 = -x dan y1 = -y
Jadi SA (P) = P (-x,-y).
Perhatikan sekarang komposisi pencerminan
            (MgMh) (P) = Mg [Mh (P) ] = Mg [(-x,y) ] = (-x,-y)
Jadi kalau P ≠ A maka
            SA (P) = MgMh (P)
Jika P = A maka
            (MgMh) (P) = Sg (A) = A
Sedangkan SA (A) = A . Jadi MgMh (A) = SA (A) sehingga untuk setiap P pada bidang berlaku
            MgMh (A) = SA (P)
Ini berarti : MgMh = SA
Teorema 7.2 : Jika g dan h dua garis yang tegak lurus maka MgMh = MhMg.
Bukti : Kalau P = A maka
            MgMh (A) = Mg (A) = A
Juga MhMg (A) = Mh (A) = A
Sehingga MgMh (A) = MhMg (A)
Untuk  P ≠ A maka MgMh = SA
Selanjutnya MhMg (P) = Mh ( (x,-y) ) = (-x,-y) = SA (P)
Jadi MhMg = SA
Sehingga diperoleh MgMh = MhMg
Teorema 7.3 : Jika SA setengah putaran, maka SA-1 = SA
Bukti : Andaikan g dan h dua garis yang tegak lurus maka MgMh = SA dengan A titik potong antara g dan h .
Jadi (MgMh)-1 = Mh-1 Mg-1 = SA-1
Oleh karena Mh-1 = Mh dan Mg-1 = Mg maka MhMg = SA­-1 . Menurut teorema 7.2 MhMg = MgMh oleh karena g h .
Jadi SA-1 = MgMh = SA .
teorema 7.4:  jika A = (a,b) dan P(x,y) maka
 
2. Geseran (Translasi)
2.1 Ketentuan dan Sifat – sifat
Teorema 10.1 : Andaikan g dan h dua garis yang sejajar. Apabila ada dua titik A dan B maka AA"  = BB"  dengan A" = MhMg (A) dan B" = MhMg (B) .
Bukti : Kita pilih sebuah sistem koordinat dengan misalnya g sebagai sumbu y dan sebuah garis tegak lurus pada g , sebagai sumbu x




                      y
     A                                                                                          A"
                                    N

B                                                                                                B"



Andaikan A = (a1 , a2 ) dan B = (b1 , b2 ) . Kalau N tengah-tengah ruas garis A"B maka harus dibuktikan SN (A) = B" . Andaikan persamaan h adalah x = k (k ≠ 0),
apabila P = (x,y) dan P' = Mh (P) maka PP'   memotong h disebuah titik Q (k,y)
dengan Q sebagai titik tengah PP'  , jadi P' = Mh (P) = (2k – x, y) sedangkan Mg (P) = (-x,y).
Jadi MhMg (P) = MhMg (P) = Mh [(-x,y)] = (2k + x,y)
Jadi pula A" = MhMg (A) = (2x + a1 , a2 )
   B" = MhMg (B) = (2x + b1 , b2 )
Oleh karena N titik tengah A"B, maka
 

N =        (2k + a1) + b1            a2 + b2
                        2                          2
 

Sedangkan SN (A) = 2         (2k + a1 + a2            -a1 , 2         a2 + b2     -a2
                                                       2                                           2
Atau                SN (A) = (2k + b1 , b2 ) = B"
Dengan demikian maka AA" = BB"
Jadi setiap ruas garis berarah, dengan pangkal sebuah titik dan berakhir di titik petanya oleh MhMg adalah ekivalen dengan setiap ruas garis berarah seperti di atas. Jadi hasil transformasi Mhmg adalah seakan – akan kita menggeser setiap titik sejauh jarak yang sama dan searah. Transformasi demikian dinamakan translasi (geseran).
Definisi : Suatu padanan G dinamakan suatu geseran apabila ada ruas garis berarah AB  sehingga setiap titik P pada bidang menjadi P' dengan G(P) = P' dan PP' = AB .
            Setiap ruas garis berarah menentukan sebuah translasi. Kalau AB suatu garis berarah maka dengan lambing GAB kita maksud sebuah geseran yang sesuai dengan AB ; nanti akan dibuktikan bahwa suatu geseran adalah suatu transformasi. Sebelumnya akan dibuktikan teorema berikut :
 

Teorema 10.2 : Apabila AB = CD maka GAB = GCD
Bukti : Jika X sebarang, maka harus dibuktikan GAB (X) = GCD (X)
Andaikan GAB (X) = X1 dan GCD (X) = X2
 

Jadi      XX1 = AB dan XX2 = CD
Karena AB = CD maka XX1 = XX2 ini berarti bahwa X1 = X2 sehingga GAB = GCD
Teorema 10.3 : Andaikan g dan h dua garis yang sejajar dan CD sebuah garis berarah tegak lurus pada g dan C є g dan D є h .

 

Apabila AB = 2 CD maka GAB = MhMg .
Bukti : Andaikan P sebuah titik sebarang. Jika P' = GAB (P) dan P" = MhMg (P), maka harus dibuktikan bahwa P' = P"



                                                      C"
                                 D                                                                                B  P"    
  C

                                                                        h
           
                                                                        A
                   P                    g
Menurut ketentuan geseran, PP' = AB. Oleh karena AB = 2 CD, maka PP' = 2 CD. Berhubung C" = MhMg (C) , C є g , maka C" = Mh (C) .
Jadi D adalah titik tengah CC" sehingga CC" = 2 CD . Oleh karena CC" = PP" (teorema 10.1), maka PP" = 2 CD = PP' .
Ini berarti bahwa P' = P" jadi GAB (P) = MhMg (P)
Karena P sebarang, maka GAB = MhMg.
Catatan :
1 ) Dari teorema di atas dapat kita simpulkan bahwa setiap geseran GAB dapat sebagai hasil kali dua reflexi pada dua garis yang tegak lurus pada AB dan berjarak 1/2 AB.
2 ) Jika AB sebuah garis dan M titik tengah AB sedangkan g , h dan n tiga garis masing – masing tegak lurus di A , di M dan di B pada AB maka GAB = MhMg = MnMh.


             g                                       h                                                 n
 



      A
                                                   M                                                     B


3 ) Oleh karena setiap geseran dapat ditulis sebagai hasil kali dua reflexi sedangkan suatu reflexi adalah suatu transformasi maka suatu geseran adalah suatu transformasi yang merupakan isometri pula karena suatu reflexi adalah suatu isometri. Lagi pula suatu isometri langsung sebab setiap reflexi adalah suatu isometri lawan.
Teorema 10.4 : Jika GAB sebuah geseran maka (GAB)-1 = GBA
Bukti : Oleh karena himpunan isometri – isometri merupakan grup bagian dari grup transformasi – transformasi, maka setiap geseran memiliki balikan (GAB)-1
            GAB = MhMg = MnMh.
Sedangkan
            GAB = MhMn = MgMh
Sehingga
            (GAB)-1 = (MnMh)-1       Mh-1 Mn-1 = MhMn = G BA

Jadi
            (GAB)-1 =  GAB

2.2 Komposisi Translasi
Teorema 10.5 : Jika GAB sebuah geseran sedangkan C dan D adalah dua titik
 

sehingga AB = 2 CD maka
            GAB = SDSC
Bukti : Andaikan g = CD , k  g di C , m  g di G .
 

Tidak ada komentar:

Poskan Komentar